Question

数列{a_n}满足a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n+1²=b_nb_n+2（n∈N^*），a₁=b₁=1，a₂=b₂=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）分别由数列递推式得到数列{a_n}，{b_n}为等差数列和等比数列，由a₁=b₁=1，a₂=b₂=2求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=a_nb_n，然后由错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），即2a_n+1=a_n+2+a_n．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
则a_n=1+1×（n-1）=n．
∵b_n+1²=b_nb_n+2（n∈N^*），b₁=1，b₂=2，
∴数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
则bn=2n-1；
（2）cn=anbn=n•2n-1，则
Tn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1．
2Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n．
两式相减得：-Tn=1•20+21+22+…+2n-1-n•2n．
整理得Tn=(n-1)•2n+1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．