Question

【题目】过双曲线 的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当P坐标为（x0 ， 2）时，求直线l的方程；
（3）求证：|OA||OB|是一个定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：双曲线 的a=1，b=2，

可得双曲线的渐近线方程为y=± x，

即为y=±2x；

（2）解：令y=2可得x02=1+ =2，

解得x0= ，（负的舍去），

设A（m，2m），B（n，﹣2n），

由P为AB的中点，可得m+n=2 ，2m﹣2n=4，

解得m= +1，n= ﹣1，

即有A（ +1，2 +2），

可得PA的斜率为k= =2 ，

则直线l的方程为y﹣2=2 （x﹣ ），

即为y=2 x﹣2；

（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣ =1，

设A（m，2m），B（n，﹣2n），

由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，

解得m=x0+ y0，n=x0﹣ y0，

则|OA||OB|= |m| |n|=5|mn|=5|（x0+ y0）（x0﹣ y0）|

=5|x02﹣ |=5为定值．

【解析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=± x，即可得到所求；（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得所求直线方程；（3）设P（x0 ， y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值．