Question

已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证平面平面，只要证明BD⊥平面PAC 即可.

（Ⅱ）思路一：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，首先证明∠OHD为O-PM-D的平面角，用 表示即可.

思路二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，

试题解析：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD 2分

又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC 4分

从而平面PBD⊥平面PAC． 6分

（Ⅱ）方法1． 过O作OH⊥PM交PM于H，连HD

因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角 8分

又，且 10分

从而 11分

所以，即． 12分

法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积求出平面PMD的法向量 ，由向量与向量的夹角列方程求出的值.

,, 8分

从而 9分

因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为． 10分

设平面PMD的法向量为,由得

取，即 11分

设与的夹角为，则二面角大小与相等

从而，得

从而，即． 12分

考点：查空间直线与平面的位置关系、空间向量在立体几何中的应用.