Question

当曲线y=-1+

4-x2

与直线kx-y+2k+3=0有且只有一个公共点，直线的倾斜角的取值范围是

 

（tanθ=

3

4

，θ≈37°）

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：曲线表示一个半圆，直线经过定点A（-2，3）．由圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得此时直线的倾斜角．再根据当直线的斜率不存在时，直线也和半圆相切．当直线经过点（2，-1）时，直线的倾斜角为135°，
数形结合求得直线的倾斜角的范围．

解答： 解：曲线y=-1+

4-x2

，即 x²+（y+1）²=4，表示以C（0，-1）
为圆心、半径r=2的半圆
（圆位于直线y=-1的上方（含直线y=-1））．
直线kx-y+2k+3=0 即 k（x+2）-y+3=0，经过定点A（-2，3）．
由圆心到直线的距离等于半径可得

|2k+1+3|

k2+1

=2，求得k=-

3

4

，
故此时直线的倾斜角为180°-arctan

3

4

≈143°．
当直线的斜率不存在时，直线也和半圆相切，如图．
当直线经过点（2，-1）时，直线的斜率为

3+1

-2-2

=-1，
此时直线的倾斜角为135°，
且当直线的倾斜角在[135°，143°）时，直线和半圆有2个交点，不满足条件，
故直线的倾斜角的范围为[90°，135°）∪{143°}，
故答案为：[90°，135°）∪{143°}．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于基础题．