Question

（2011•东城区模拟）如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，侧棱与底面垂直，点O是正方形ABCD对角线的交点，AA₁=2AB=4，点E，F分别在CC₁和A₁A上，且CE=A₁F．
（Ⅰ）求证：B₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）若A₁O⊥BE，求CE的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角A₁-BE-O的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证B₁F∥平面BDE，由图可通过证明B₁F∥DE来证出．取BE₁=CE，连接EE₁和AE₁，先证明四边形AE₁ED为平行四边形，再证明四边形B₁FAE₁为平行四边形得出B₁F∥DE．
（Ⅱ）连接OE，通过证明BD⊥平面A₁AO，得出BD⊥A₁O．结合A₁O⊥BE，得A₁O⊥平面BDE．得出∠A₁OE=90°，即∠A₁OA+∠EOC=90°，利用△A₁AO∽△OCE，求出CE．
 （Ⅲ）以A为原点，AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用面OBE的一个法向量，
与平面A₁BE的一个法向量的夹角来求二面角A₁-BE-O的 大小．

解答：解：（Ⅰ）证明：取BE₁=CE，连接EE₁和AE₁
∴EE₁=BC，EE₁∥BC，BC=AD，BC∥AD，
∴EE₁=AD，EE₁∥AD．
∴四边形AE₁ED为平行四边形，
∴AE₁∥DE，
在矩形A₁ABB₁中，A₁F=BE₁，
∴四边形B₁FAE₁为平行四边形．
∴B₁F∥AE₁，B₁F∥DE．
∵DE?平面BDE，B₁F?平面BDE，
∴B₁F∥平面BDE．--------（4分）
（Ⅱ）连接OE，
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，BD⊥AC，
∴BD⊥平面A₁AO，
∴BD⊥A₁O．
由已知A₁O⊥BE，得A₁O⊥平面BDE．
∴∠A₁OE=90°，∠A₁OA+∠EOC=90°，
在△A₁AO与△OCE中，∠EOC=∠OA₁A，∠ECO=∠OAA₁，
∴△A₁AO∽△OCE
∴

A1A

OC

=

AO

CE

，CE=

1

2

．---------（9分）
（Ⅲ）以A为原点，AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
．B(2，0，0)，E(2，2，

1

2

)，A1(0，0，4)，O(1，1，0)．

OA1

=(-1，-1，4)，

A1B

=(2，0，-4)，

A1E

=(2，2，-

7

2

)，
由（Ⅱ）知

OA1

为平面OBE的一个法向量，
设n=（x，y，z）为平面A₁BE的一个法向量，
则  

n• A1B =0 n• A1E =0

，即  

2x-4z=0 2x+2y- 7 2 z=0

，
令z=1，所以 n=(2，-

1

4

，1)．
∴cos＜n，

OA1

＞=

2

6

，
∵二面角A₁-BE-O的平面角为锐角，
∴二面角A₁-BE-O的余弦值为

2

6

．---------（13分）

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．