Question

7．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$+8
• B． 4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$+8
• C． 8$\sqrt{2}$+8
• D． 16

Answer 1

分析 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为菱形，且侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图中数据求出该几何体的表面积．

解答 解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示四棱锥，且四棱锥的底面是菱形，侧棱PC⊥底面ABCD，
则该几何体的各侧面中最大的侧面是△PAB与△PAD，其面积相等；
△PAB中，PA=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，AB=2$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$；
PA²=AB²+PB²，∴△PAB为直角三角形；
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×PB×AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$．
S_△PCD=S_△PCB=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，S_ABCD=$2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=8，
∴该几何体的表面积为4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$+8，
故选：B．

点评 本题考查了空间三视图的应用问题，考查该几何体的表面积，解题时应根据三视图还原出几何体的结构特征，是基础题目．