Question

2．圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ²（1+sin²θ）=2．
（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；
（2）直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式可得直角坐标方程，进而得到焦点的直角坐标与极坐标．
（2）直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），可得直线l的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}x$，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（0≤θ＜2π），设M（$\sqrt{2}cosθ，sinθ$），利用点到直线的距离公式可得：M到直线的距离d，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ²（1+sin²θ）=2，
∴曲线C的直角坐标方程：x²+y²+y²=2，化为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
焦点直角坐标：F₁（-1，0），F₂（1，0）
焦点极坐标：F₁（1，π），F₂（1，0）．
（2）∵直线l的极坐标方程为β=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），
∴直线l的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}x$，
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（0≤θ＜2π），
设M（$\sqrt{2}cosθ，sinθ$），
则M到直线的距离d=$\frac{|\sqrt{6}cosθ-sinθ|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）|}{2}$，
∴sin（θ+α）=1时，曲线C上的点M到直线l的距离最大，
此时解得 sinθ=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，cosθ=-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$；sinθ=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
$M（\frac{{2\sqrt{21}}}{7}，-\frac{{\sqrt{7}}}{7}）$或$M（-\frac{{2\sqrt{21}}}{7}，\frac{{\sqrt{7}}}{7}）$

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．