Question

17．将三项式（x²+x+1）ⁿ展开，当n=1，2，3，…时，得到如下所示的展开式，如图所示的广义杨辉三角形：
（x²+x+1）⁰=1
（x²+x+1）¹=x²+x+1
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角形构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（a+x）（x²+x+1）⁴的展开式中，x⁶项的系数为46，则实数a的值为3．

Answer 1

分析 由题意可得广义杨辉三角形第第4行   1 4 10 16 19 16 10 4 1
，所以（a+x）（x²+x+1）⁴的展开式中，x⁶项的系数为16+10a=46，即可求出实数a的值

解答 解：∵（x²+x+1）⁴=x⁸+4x⁷+10x⁶+16x⁵+19x⁴+16x³+10x²+4x+1第4行   1 4 10 16 19 16 10 4 1
若在（a+x）（x²+x+1）⁴的展开式中，x⁶项的系数为46，即10a+16=46，∴a=3
故答案为：3

点评 题考查二项式定理的运用以及归纳推理，解题的关键在于发现所给等式的系数变化的规律．