Question

6．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=3，AA₁=4，AC⊥BC，点D在线段AB上．
（Ⅰ）证明AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中点，证明AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）当$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．求出相关点的坐标，通过$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{B_1}C}=0$推出AC⊥B₁C．
（Ⅱ）解法一：求出平面B₁CD的法向量，通过$\overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow m=（0，-4，4）•（4，-3，-3）=0$，推出AC₁∥平面B₁CD；
解法二：连接BC₁，交BC₁于E，DE．推出DE∥AC₁，然后证明AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅲ）求出平面BCD的法向量，设平面B₁CD的法向量，设二面角B-CD-B₁的大小为θ，利用向量的数量积求解二面角B-CD-B₁的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则B（3，0，0），A（0，4，0），A₁（0，4，4），B₁（3，0，4），C₁（0，0，4）.$\overrightarrow{AC}=（0，-4，0）$，$\overrightarrow{{B_1}C}=（-3，0，-4）$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{B_1}C}=0$，所以AC⊥B₁C．

（Ⅱ）解法一：
$\overrightarrow{A{C_1}}=（0，-4，4）$
设平面B₁CD的法向量$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
由$\overrightarrow{{B_1}C}•\overrightarrow m=（-3，0，-4）$•（x，y，z）=-3x-4y=0，
且$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow m=（\frac{3}{2}，2，0）•$$（x，y，z）=\frac{3}{2}x+2y=0$，
令x=4得$\overrightarrow m=（4，-3，-3）$，
所以$\overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow m=（0，-4，4）•（4，-3，-3）=0$，
又AC₁?平面B₁CD，所以AC₁∥平面B₁CD；
解法二：证明：连接BC₁，交BC₁于E，DE．
因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中点，
所以侧面BB₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线．
所以DE∥AC₁，
因为DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
所以AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，
设D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因为点D在线段AB上，且$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，即$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}$．
所以a=2，$b=\frac{4}{3}$，$\overrightarrow{BD}$=$（-1，\frac{4}{3}，0）$．
所以$\overrightarrow{{B_1}C}=（-3，0，-4）$，$\overrightarrow{CD}=（2，\frac{4}{3}，0）$．
平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（0，0，1）$．
设平面B₁CD的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（x，y，1）$，
由$\overrightarrow{{B_1}C}•\overrightarrow{n_2}=0$，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n_2}=0$，得$\left\{{\begin{array}{l}{3x+4=0}\\{2x+\frac{4}{3}y=0}\end{array}}\right.$，
所以$x=-\frac{4}{3}$，y=2，$\overrightarrow{n_2}$=$（-\frac{4}{3}，2，1）$．
设二面角B-CD-B₁的大小为θ，
所以$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{3}{{\sqrt{61}}}$．
所以二面角B-CD-B₁的余弦值为$\frac{{3\sqrt{61}}}{61}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．