Question

15．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=1，D是棱AA₁上的点，DC₁⊥BD
（Ⅰ）求证：D为AA₁中点；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面BDC所成角正弦值大小；
（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B₁M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D为AA₁的中点．
（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直线BC₁与平面BDC所成角正弦值．
（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，利用向量法推导出在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B₁M⊥面BDC．

解答 证明：（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴D（1，0，h），C₁（0，0，2），B（0，1，0），B₁（0，1，2），
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-1，0，2-h），$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，h），
∴-1+h（2-h）=0，解得h=1，
∴D为AA₁的中点．
（Ⅱ）$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，2），
设面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=y=0}\end{array}\right.$，设x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设直线BC₁与平面BDC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线BC₁与平面BDC所成角正弦值大小为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}=（x，y-1，-2）$，
∵B₁M⊥面BDC，∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}=λ（1，0，-1）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ}\\{y-1=0}\\{-λ=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∵x＞1，∴在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B₁M⊥面BDC．

点评 本题考查点为线段中点的证明、线面角正弦值求法、满足线面垂直的点是否存在的判断等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合，考查创新意识、应用意识，是中档题．