Question

3．某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件A的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出基本事件总数n=${C}_{7}^{4}$，利用对立事件概率计算公式能求出事件A的概率．
（Ⅱ）由题意知随机变量X的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，
从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查，
基本事件总数n=${C}_{7}^{4}$，
A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，
则事件A的概率p=1-$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{34}{35}$，
（Ⅱ）由题意知随机变量X的所有可能取值为0，2，4，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{16}{35}$，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$．
∴随机变量X的分布列为：

X	0	2	4
P	$\frac{18}{35}$	$\frac{16}{35}$	$\frac{1}{35}$

E（X）=$0×\frac{18}{35}+2×\frac{16}{35}+4×\frac{1}{35}$=$\frac{36}{35}$．

点评 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．