Question

13．已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=$\frac{1}{x}$，若方程f（x）=g（x）-a有且只有一个实数根，则实数a的取值集合为（-1，+∞）．

Answer 1

分析 把方程f（x）=g（x）-a有且只有一个实数根，转化为|x-a|+a=$\frac{1}{x}$有且只有一个实数根，令h（x）=|x-a|+a，t（x）=$\frac{1}{x}$．分类作出两函数图象即可求得实数a的取值集合．

解答 解：方程f（x）=g（x）-a有且只有一个实数根，
即|x-a|=$\frac{1}{x}$-a有且只有一个实数根，
也就是|x-a|+a=$\frac{1}{x}$有且只有一个实数根，
令h（x）=|x-a|+a，t（x）=$\frac{1}{x}$．
若a=0，则h（x）=|x|，作出函数图象如图1：
方程f（x）=g（x）-a有且只有一个实数根；
若a＞0，函数h（x）是把函数y=|x|的图象向右向上平移a个单位得到，
作出函数h（x）与t（x）的图象如图2：
对于任意a＞0，方程f（x）=g（x）-a有且只有一个实数根；
若a＜0，函数h（x）是把函数y=|x|的图象向左向下平移|a|个单位得到，
作出函数h（x）与t（x）的图象如图3：
要使方程f（x）=g（x）-a有且只有一个实数根，则-1＜a＜0．

综上，实数a的取值集合为（-1，+∞）．
故答案为：（-1，+∞）．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．