Question

【题目】已知数列的前项和为，满足，数列满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2），求数列的前项和；

（3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，.

【解析】

（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式.用累加法可求的通项.

（2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论.

（3）根据的通项可得，故考虑的解可得满足条件的的值.

（1）在数列中，当时，.

当时，由得，

因为，故，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.

在数列中，当时，有，

由累加法得，，

.

当时，也符合上式，所以.

(2) .

当为偶数时，

=；

当为奇数时，

=.

(3)对任意的正整数,有，

假设存在正整数，使得，则，

令，解得，又为正整数，

所以满足题意.