Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{3}-2{x}^{2}}{{e}^{x}}$．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x＞0时，af（x）+xf′（x）＜$\frac{4{x}^{2}}{{e}^{x}}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）令x-2=t，则x=t+2，（t＞-2），问题转化为at＜a²-t+2，通过讨论t的范围，结合基本不等式的性质，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-（x-1）（x-4）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞4或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜4，
∴f（x）在（-∞，1），（4，+∞）递增，在（1，4）递减，
∴f（x）的极大值是f（0）=0或f（4）=$\frac{32}{{e}^{4}}$，极小值是f（1）=-$\frac{1}{e}$；
（2）当x∈（0，+∞）时，af（x）+f′（x）＜$\frac{{4x}^{2}}{{e}^{x}}$恒成立
?a（x-2）＜（x-1）（x-4）+4，
令x-2=t，则：x=t+2，（t＞-2），
∴at＜a²-t+2，
①当x＞2时，x-2＞0，即t＞0，此时不等式等价于a＜t+$\frac{2}{t}$-1，
∵t+$\frac{2}{t}$-1≥2$\sqrt{t•\frac{2}{t}}$-1=2$\sqrt{2}$-1，
当且仅当t=$\frac{2}{t}$即t=$\sqrt{2}$，x=2+$\sqrt{2}$时“=”成立，
∴a＜2$\sqrt{2}$-1；
②当x=2，即t=0时，不等式at＜a²-t+2恒成立；
③当0＜x＜2即-2＜t＜0时，不等式at＜a²-t+2等价于a＞t+$\frac{2}{t}$-1，
∵t+$\frac{2}{t}$-1=-[（-t）+（-$\frac{2}{t}$]-1≤-2$\sqrt{（-t）•（-\frac{2}{t}）}$-1=-1-2$\sqrt{2}$，
当且仅当-t=-$\frac{2}{t}$，即t=-$\sqrt{2}$，x=2-$\sqrt{2}$时，“=”成立，
∴a＞-1-2$\sqrt{2}$，
综上：a的范围是（-1-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，通过换元法结合不等式的性质是解答本题的关键，本题有一定的难度．