Question

(理)已知二次函数f(x)=x²+2bx+c(b、c∈R)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2)、(0,1)内.

(1)求实数b的取值范围;

(2)若函数F(x)=log_bf(x)在区间(-1-c,1-c)上具有单调性,求实数c的取值范围.

(文)已知二次函数f(x)=x²+2bx+c(b、c∈R).

(1)若f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},求实数b、c的值;

(2)若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2)、(0,1)内,求实数b的取值范围.

Answer 1

答案：(理)解：(1)由题,知f(1)=1+2b+c=0,∴c=-1-2b.

记g(x)=f(x)+x+b=x²+(2b+1)x+b+c=x²+(2b+1)x-b-1,

则即b∈().

(2)令u=f(x).∵0＜＜b＜＜1,∴log_bu在(0,+∞)上是减函数.而-1-c=2b＞-b,函数f(x)=x²+2bx+c的对称轴为x=-b,∴f(x)在区间(-1-c,1-c)上单调递增.从而函数F(x)=log_bf(x)在(-1-c,1-c)上为减函数.

且f(x)在区间(-1-c,1-c)上恒有f(x)＞0,只需要f(-1-c)≥0,

∴.

(文)解：(1)由题,知x₁=-1,x₂=1是方程x²+2bx+c=0的两个根.

由韦达定理,得

即∴b=0,c=-1.

(2)由题,知f(1)=1+2b+c=0,∴c=-1-2b.2分记g(x)=f(x)+x+b=x²+(2b+1)x+b+c=x²+(2b+1)x-b-1,则

即b∈(,).