Question

已知函数f（x）=x³对应的曲线在点（a_k，f（a_k））（k∈N^*）处的切线与x轴的交点为（a_k+1，0），若a₁=1，则

f( 3 a1 )+f( 3 a2 )+…+f( 3 a10 )

1-( 2 3 )10

=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,等差数列与等比数列

分析：求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令y=0，结合等比数列的定义可得，数列{a_n}是首项a₁=1，公比q=

2

3

的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值．

解答： 解：由f'（x）=3x²得曲线的切线的斜率k=3

a

2 k

，
故切线方程为y-

a

3 k

=3

a

2 k

(x-ak)，
令y=0得ak+1=

2

3

ak⇒

ak+1

ak

=

2

3

，
故数列{a_n}是首项a₁=1，公比q=

2

3

的等比数列，
又f(

3	a1

)+f(

3	a2

)+…+f(

3	a10

)=a1+a2+…+a10=

a1(1-q10)

1-q

=3(1-q10)，
所以

f( 3 a1 )+f( 3 a2 )+…+f( 3 a10 )

1-( 2 3 )10

=3．
故答案为：3．

点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，同时考查等比数列的定义和求和公式，运用点斜式方程求得切线方程是解题的关键．