Question

已知，，且直线与曲线相切．
（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；
（ⅱ）求证：．

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）13；（ⅱ）详见解析.

解析试题分析：（1）由直线与曲线相切可以求出中的参数.再由对内的一切实数，不等式恒成立，即在上恒成立，然后构造函数，研究其导函数以确定其单调性，从而得到其最小值1.又，所以实数的取值范围是；（2）（ⅰ）先通过导函数确定在上是增函数，从而得到在上的最大值.由题意，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值.经计算知时不等式右边取得最小值，然后代入不等式，解得．因此，的最大值为；（ⅱ）根据（1）的推导时，，从而，再通过令代入化简即可得证.
试题解析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有
．     （*）
，．  （**）
由（*）、（**）两式，解得，．    1分
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．    2分
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．
因此，实数的取值范围是．     4分
（2）（ⅰ）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．因此，的最大值为．  8分
（ⅱ）证明：当时，根据（1）的推导有，时，