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已知函数.
(1)若,求证:当时,
(2)若在区间上单调递增,试求的取值范围;
(3)求证:.

(1)详见解析;(2);(3)详见解析.

解析试题分析:(1)将代入函数解析式,利用导数函数在区间上的单调性,进而由单调性证明;(2)解法一是“将函数在区间上单调递增”转化为“不等式在区间上恒成立”,然后利用参数分离法等价转化为“不等式在区间上恒成立”,最终转化为;解法二是先将问题转化为在区间上恒成立,对参数进行分类讨论,围绕,从而对参数进行求解;(3)先将不等式等价转化证明,在(2)中,令得到,然后在(2)中得到,两边取对数得到,在令,得到,再结合放缩法得到,需注意第一个不等式不用放缩法,即,利用累加法便可得到,从而证明相应的不等式.
试题解析:(1),则
上单调递增,
故函数上单调递增,所以
(2)解法一:,下求使恒成立的的取值范围.
时,由,得上恒成立,
,则有,则,令,解得
列表如下:









练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(13分)已知函数
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性.

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定义函数阶函数.
(1)求一阶函数的单调区间;
(2)讨论方程的解的个数;
(3)求证:.

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定义函数阶函数.
(1)求一阶函数的单调区间;
(2)讨论方程的解的个数;
(3)求证:.

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已知函数的图象在上连续,定义:.其中,表示函数上的最小值,表示函数上的最大值.若存在最小正整数,使得对任意的成立,则称函数上的“阶收缩函数”.
(Ⅰ)若,试写出的表达式;
(Ⅱ)已知函数,试判断是否为上的“阶收缩函数”.如果是,求出对应的;如果不是,请说明理由;
(Ⅲ)已知,函数上的2阶收缩函数,求的取值范围.

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已知,且直线与曲线相切.
(1)若对内的一切实数,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)(ⅰ)当时,求最大的正整数,使得任意个实数是自然对数的底数)都有成立;
(ⅱ)求证:

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,其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
(1)求的值;
(2)求函数的极值.

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已知函数R,
(1)求函数f(x)的值域;
(2)记函数,若的最小值与无关,求的取值范围;
(3)若,直接写出(不需给出演算步骤)关于的方程的解集

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已知函数,且在时函数取得极值.
(1)求的单调增区间;
(2)若
(Ⅰ)证明:当时,的图象恒在的上方;
(Ⅱ)证明不等式恒成立.

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