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定义函数阶函数.
(1)求一阶函数的单调区间;
(2)讨论方程的解的个数;
(3)求证:.

(1)当时,无单调区间;
时,的单增区间为单减区间为
时,的单增区间为,单减区间为
(2)当时,方程有两个不同解.当时,方程有0个解.当时,方程有唯一;
(3)详见解析.

解析试题分析:(1)求导,对分情况讨论;
(2)研究方程的解的个数,实质就是研究函数的图象.通过求导,弄清函数的单调区间及函数值的范围,结合图象即可知道方程的解的个数.
(3)待证不等式
可变为,左右对照,考虑证:

再联系到本题所给函数,可令,且研究的3阶函数,即.
.由
单调递增,在单调递减.
.又时,
再令即得证.
试题解析:(1),
,当时,
时,无单调区间;
时,的单增区间为单减区间为.
时,的单增区间为,单减区间为.4分.
(2)由时,方程无解.当时,

从而单调递增,在单调递减.
时,,当
,即时,方程有两个不同解.
,即时,方程有0个解
,或即时,方程有唯一解.
综上,当时,方程有两个不同解.当时,方程有0个解.当时,方程有唯一解. 9分.
(3)特别地:当时由.

单调递增,在单调递减.

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已知函数.
(1)若,求证:当时,
(2)若在区间上单调递增,试求的取值范围;
(3)求证:.

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已知函数
(Ⅰ)当时,求函数的极大值和极小值;
(Ⅱ)当时,恒成立,求的取值范围.

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已知函数
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