Question

定义函数为的阶函数.
（1）求一阶函数的单调区间；
（2）讨论方程的解的个数；
（3）求证：.

Answer 1

（1）当时,无单调区间；
当时,的单增区间为单减区间为；
当时,的单增区间为,单减区间为；
（2）当时,方程有两个不同解.当时,方程有0个解.当或时,方程有唯一；
（3）详见解析.

解析试题分析：(1)求导，对分情况讨论；
(2)研究方程的解的个数，实质就是研究函数的图象.通过求导，弄清函数的单调区间及函数值的范围，结合图象即可知道方程的解的个数.
(3)待证不等式
可变为，左右对照，考虑证：

再联系到本题所给函数，可令，且研究的3阶函数，即.
.由得
则在单调递增,在单调递减.
即.又时,
再令即得证.
试题解析：(1),
令,当时,
当时,无单调区间；
当时,的单增区间为单减区间为.
当时,的单增区间为,单减区间为.4分.
(2)由当时,方程无解.当时,
令则由得
从而在单调递增,在单调递减.
当时,，当
当,即时,方程有两个不同解.
当,即时,方程有0个解
当,或即或时,方程有唯一解.
综上,当时,方程有两个不同解.当时,方程有0个解.当或时,方程有唯一解. 9分.
(3)特别地：当时由得.
由得
则在单调递增,在单调递减.