Question

（本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列；

（1）证明：；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）由得当时，，即故；（2）当时，由得故，且即从而，∴；（3）由（1）（2）可得

，利用裂项相消求和法得得证.

试题解析：（1）证明：因为，令，则，即，所以； 2分

（2）当时，，

所以，因为各项均为正数，所以； 5分

因为构成等比数列，所以，即，

解得，因为，所以， ，符合，所以对也符合， 7分

所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，

所以； 9分

因为， 10分

所以

；

所以对一切正整数，有. 14分

考点：数列求通项公式、n项和公式及数列的综合问题