Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当a=1时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）求出，对a分类讨论，解不等式即可得到函数的单调性；

（2）关于的不等式恒成立等价于在恒成立，构建函数，研究其单调性与最值即可.

解：（1）

当时，，在单调递增；

当时，由得：；由得：，

在单调递减，在单调递增

综上：当时，在单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增.

（2）由题意：当时，不等式，

即

即在恒成立，

令，则，

令，则，

在单调递增

又，所以，有唯一零点（）

所以，，即--------（※）

当时，即，单调递减；时，即，单调递增，所以为在定义域内的最小值.

令则方程（※）等价于

又易知单调递增，所以，

所以，的最小值

所以，即

所以实数的取值范围是