Question

1．数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S_n=f（n）=n²+2a|n-2|．
（1）若数列{a_n}为递增数列，求实数a的取值范围；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，设数列{b_n}满足：b_n=2^a_n，记{b_n}的前n项和为T_n，求T_n，并求满足不等式T_n＞2015的最小整数n．

Answer 1

分析 （1）n=1，a₁=S₁=1+2a．n=2时，a₁+a₂=4，解得a₂．n≥3时，a_n=S_n-S_n-1．再利用数列{a_n}为递增数列，即可得出．
（2）a=$\frac{1}{2}$时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1，2}\\{2n，n≥3}\end{array}\right.$，可得b_n=2^a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1，2}\\{{4}^{n}，n≥3}\end{array}\right.$．n=1时，T₁=4．n=2时，T₂=8；n≥3时，T_n=$\frac{{4}^{n+1}}{3}$-$\frac{40}{3}$．对n计算T₅，T₆，即可得出．

解答 解：（1）n=1，a₁=S₁=1+2a．n≥2时，S_n=n²+2a（n-2），a₁+a₂=4，解得a₂=3-2a．
n≥3时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2a（n-2）-[（n-1）²+2a（n-3）]=2n-1+2a．
∵数列{a_n}为递增数列，∴a₂＞a₁，a₃＞a₂，n≥4时，a_n＞a_n-1，
联立解得：$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$．
（2）a=$\frac{1}{2}$时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1，2}\\{2n，n≥3}\end{array}\right.$，
∴b_n=2^a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1，2}\\{{4}^{n}，n≥3}\end{array}\right.$．
∴n=1时，T₁=4．n=2时，T₂=4+4=8．
n≥3时，T_n=8+$\frac{64（{4}^{n-2}-1）}{4-1}$=$\frac{{4}^{n+1}}{3}$-$\frac{40}{3}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，n=1，2}\\{\frac{{4}^{n+1}-40}{3}，n≥3}\end{array}\right.$．
T₅=1352，
T₆=5448，因此满足不等式T_n＞2015的最小值为6．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．