Question

10．三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，PA、PB、PC两两互相垂直，且这个三棱锥的三个侧面的面积分别为$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，则这个球的半径是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长就是球的直径，然后求球的半径即可．

解答 解：∵三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球
设PA=a，PB=b，PC=c则$\left\{\begin{array}{l}{ab=\sqrt{2}①}\\{ac=2\sqrt{3}②}\\{bc=\sqrt{6}③}\end{array}\right.$
∴①×②×③可得abc=2$\sqrt{3}$④
∴④÷①得c=$\sqrt{6}$
④÷②得b=1
④÷③得a=$\sqrt{2}$
∴求出长方体的对角线的长：$\sqrt{2+1+6}$=3
∴球的直径是3，半径为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．解题的关键是要知道三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，PA、PB、PC两两互相垂直则球的直径是以PA，PB，PC所构造出的长方体得对角线长这一常用结论！