Question

5．已知抛物线C₁：y²=$\frac{1}{2}$x的焦点与抛物线C₂：x²=2px（p＞0）的焦点之间的距离为$\frac{\sqrt{65}}{8}$．
（1）求抛物线C₂的标准方程；
（2）设C₁与C₂在第一象限的交点为A，过A的斜率为k（k＞0）的直线l₁与C₁的另一个交点为B，过A与l₁垂直的直线l₂与C₂的另一个交点为C，设m=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线C₁：y²=$\frac{1}{2}$x的焦点与抛物线C₂：x²=2px（p＞0）的焦点之间的距离为$\frac{\sqrt{65}}{8}$，可得p，进而得到抛物线C₂的标准方程；
（2）设出直线AB的方程，联立抛物线C₁：y²=$\frac{1}{2}$x，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，再设直线AC的方程，联立抛物线方程x²=4y，运用韦达定理和弦长公式，可得|AC|，再求m的范围，即可得到．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y²=$\frac{1}{2}$x的焦点与抛物线C₂：x²=2px（p＞0）的焦点之间的距离为$\frac{\sqrt{65}}{8}$，
∴$\sqrt{\frac{1}{64}+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{65}}{8}$，
∴p=2，
∴抛物线C₂的标准方程x²=4y；
（2）由C₁与C₂在第一象限的交点为A，可得A（2，1），
由题意得直线AB的方程为y-1=k（x-2），联立抛物线C₁：y²=$\frac{1}{2}$x，消去y，
得k²x²+[2k（1-2k）-$\frac{1}{2}$]x+（1-2k）²=0，
则x_Ax_B=$\frac{（1-2k）^{2}}{{k}^{2}}$，
∵x_A=2，∴x_B=$\frac{4{k}^{2}-4k+1}{2{k}^{2}}$（k≠$\frac{1}{4}$），
即有|AB|²=（1+k²）|x_A-x_B|=（1+k²）•|$\frac{4{k}^{2}-4k+1}{2{k}^{2}}$-2|，
直线AC的方程为y-1=-$\frac{1}{k}$（x-2），联立抛物线方程x²=4y，消去y，得kx²+4x-8-4k=0，
∴x_Ax_C=-4-$\frac{8}{k}$，
∵x_A=2，∴x_C=-2-$\frac{4}{k}$，
即有|AC|²=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）|x_A-x_C|=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）•|-2-$\frac{4}{k}$-2|，
则有m²=（$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$）²=$\frac{1}{8}$|-4+$\frac{5}{k+1}$|，
∵0＜$\frac{5}{k+1}$＜5，$\frac{5}{k+1}$≠4，
∴有0＜m＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理，以及弦长公式，注意化简整理，属于中档题．