Question

11．已知命题p：不等式（1-x）（1-a）x＜1对任意实数x恒成立；命题q：若不等式$\frac{{x}^{2}+ax+3}{x+1}$≥2对任意的x∈N⁺恒成立．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 通过p为真，求出实数a的取值范围；通过q为真，求实数a的取值范围，通过p∧q为假命题，p∨q为真命题，分类讨论求出求实数a的取值范围．

解答 解：p真，（1-x）（1-a）x＜1恒成立?（1-a）x²-（1-a）x+1＞0恒成立，
（1）a=1时，1＞0恒成立，
（2）但a≠1时，满足$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{△=（a-1）^{2}-4（1-a）=（a-1）（a+3）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{-3＜a＜1}\end{array}\right.$，解得-3＜a＜1，
综上-3＜a≤1，
q真，$\frac{{x}^{2}+ax+3}{x+1}$≥2对任意的x∈N^*恒成立等价为x²+ax+3≥2x+2，
即x²+（a-2）x+1≥0，
即（a-2）x≥-x²-1，
即a-2≥$\frac{-{x}^{2}-1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$），
当x≥1时，-（x+$\frac{1}{x}$）$≤-2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=-2，当且仅当x=1时取等号，
故a-2≥-2，即a≥0，
∵若p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴p与q为一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a≤1}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得-3＜a＜0，
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a≤-3}\\{a≥0}\end{array}\right.$，解得a＞1，
综上所述a的取值范围为（1，+∞）∪（-3，0）．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，考查分类讨论思想的应用，以及恒成立的问题，考查计算能力，属于中档题．