Question

2．一船在航行中的燃料费与其速度v的立方成正比，已知v=10km/h时燃料费是6元/h，而其他与v无关的费用是96元/h，问v为何值时可使航行每公里所需费用的总和最小？

Answer 1

分析 根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．

解答 解：设船速度为x（x＞0）时，燃料费用为Q元，则Q=kx³，
由6=k×10³可得k=$\frac{3}{500}$，∴Q=$\frac{3}{500}$x³，
∴总费用y=（$\frac{3}{500}$x³+96）$•\frac{1}{x}$=$\frac{3}{500}$x²+$\frac{96}{x}$，
∴y′=$\frac{6}{500}$x-$\frac{96}{{x}^{2}}$，令y′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈（20，+∞）时，y′＞0，此时函数单调递增，
∴当x=20时，y取得最小值，
答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．

点评 本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法．建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题，体现了转化与化归的思想．