Question

11．（1）求函数y=2x-3+$\sqrt{13-4x}$的值域
（2）已知奇函数y=f（x）是定义在（-3，3）上的减函数，且满足不等式f（x-3）+f（x²-3）＜0，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法求函数y=2x-3+$\sqrt{13-4x}$的值域
（2）利用奇函数y=f（x）是定义在（-3，3）上的减函数，且满足不等式f（x-3）+f（x²-3）＜0，转化为具体的不等式，即可求实数x的取值范围．

解答 解：（1）设$\sqrt{13-4x}=t（t≥0）$，则$x=\frac{{13-{t^2}}}{4}$，…2分
原函数可化为$y=\frac{{13-{t^2}}}{2}-3+t=-\frac{1}{2}{（t-1）^2}+4\;\;\;（t≥0）$，
所以y≤4…5分
所以原函数的值域为（-∞，4]…7分
（2）由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{-3＜x-3＜3}\\{-3＜{x^2}-3＜3}\end{array}}\right.$得   $0＜x＜\sqrt{6}$…9分
又因为f（x）是奇函数，
所以f（x-3）＜-f（x²-3）=f（3-x²）…11分
又f（x）在（-3，3）上是减函数
所以 x-3＞3-x²，即x²+x-6＞0解得x＞2或x＜-3…13分
综上得$2＜x＜\sqrt{6}$…15分．

点评 本题考查函数的值域，考查单调性与奇偶性的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．