Question

8．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2a_n+1-S_n=0，且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答 解：（I）∵2a_n+1-S_n=0，且a₁=1．
∴当n≥2时，2a_n-S_n-1=0，可得2a_n+1-2a_n=a_n，∴a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n，

∴数列{a_n}是等比数列，公比为$\frac{3}{2}$，∴a_n=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（II）na_n=$n•（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
∴数列{na_n}的前n项和T_n=1+2×$\frac{3}{2}$+3×$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+$n•（\frac{3}{2}）^{n-1}$ ①，
$\frac{3}{2}$T_n=$\frac{3}{2}$+$2×（\frac{3}{2}）^{2}$++…+（n-1）$•（\frac{3}{2}）^{n-1}$+n$•（\frac{3}{2}）^{n}$ ②，
由①-②得-$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{3}{2}+（\frac{3}{2}）^{2}$+…+$（\frac{3}{2}）^{n-1}$-n$（\frac{3}{2}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{3}{2}）^{n}}{1-\frac{3}{2}}$-n$（\frac{3}{2}）^{n}$=（2-n）$•（\frac{3}{2}）^{n}$-2，
∴T_n=（2n-4）$•（\frac{3}{2}）^{n}$+4．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．