Question

18．与双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同渐近线且焦距为12的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，设所求双曲线的方程为y²-$\frac{4}{5}$x²=λ（λ≠0），讨论λ＞0，λ＜0，化为标准方程可得a，b，c，解方程可得所求方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{2}{\sqrt{5}}$x，
设所求双曲线的方程为y²-$\frac{4}{5}$x²=λ（λ≠0），
当λ＞0，可得$\frac{{y}^{2}}{λ}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{4}λ}$=1，
即有c²=λ+$\frac{5}{4}$λ=36，解得λ=16，
即有双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{20}$=1；
当λ＜0，可得$\frac{{x}^{2}}{-\frac{5}{4}λ}$-$\frac{{y}^{2}}{-λ}$=1，
即有c²=-λ-$\frac{5}{4}$λ=36，解得λ=-16，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．