Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为1的菱形。侧面PAD是正三角形，其所在侧面垂直底面ABCD，G是AD中点。
（1）求异面直线BG与PC所成的角；
（2）求点G到面PBC的距离；
（3）若E是BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并说明理由。

Answer 1

（1）（2）（3）F为PC中点

（1）∵△PAD为正三角形，G为AD中点，

∴PG⊥AD
又PG面PAD，面PAD⊥面ABCD
面PAD∩面ABCD=AD
∴PG⊥面ABCD，又GB面ABCD
∴PG⊥GB
又∵∠DAB=60°，四边形ABCD为菱形，
∴BA=BD
∴BG⊥AD
以G为原点，GB所在直线为x轴，GD所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，建立（如图所示）空间直角坐标系G—xyz，则G（0，0，0），，，

∴GB与PC所成角θ的余弦值为：


（2）设面PBC的一个法向量为
由和得

∴G到面PBC的距离
（3）设存在F点，使面DEF⊥面ABCD，且F分的比为
则
∵∠DAB=60°，∴BD=DC，又∵E为BC中点，∴BC⊥DE
由BC面ABCD，面DEF∩面ABCD=DE知
BC⊥面DEF

即
∴F为PC中点