Question

15．已知函数F（x）=xlnx．
（1）求这个函数的图象在点x=e处的切线方程．
（2）若方程F（x）-t=0在x∈[e^-2，1]上有两个不相等的实数根，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数在x=e处的导数，再求出切点坐标，代入直线方程的点斜式得答案；
（2）要使方程F（x）-t=0在[e^-2，1]上有两个不相等的实数根，只需y=t与y=F（x）的图象有两个交点即可．

解答 解：（1）∵F（x）=xlnx，
∴F′（x）=lnx+1（x＞0）；
切线的斜率k=F′（e）=lne+1=2，点（e，e），
代入点斜式方程得：y-e=2（x-e），即2x-y-e=0，
∴该函数的图象在x=e处的切线方程为：2x-y-e=0．--------（6分）
（2）令F′（x）=0，则x=e^-1∈[e^-2，1]，
当x∈（e^-2，e^-1）时，F′（x）＜0
当x∈（e^-1，1）时，F′（x）＞0，∴F（x）的最小值为F（e^-1）=-e^-1
要使方程F（x）-t=0在[e^-2，1]上有两个不相等的实数根，
只需y=t与y=F（x）的图象有两个交点即可，
又F（e^-2）=-2e^-2＜F（1）=0，
故t的取值范围是：（-e^-1，-2e^-2]--------（6分）

点评 本题考查基本初等函数的求导公式，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查方程根问题，是中档题．