Question

5．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|²与|OQ|•|OR|的大小关系为|OP|²=|OQ|•|OR|．（填“＞”，“＜”或“=”）

Answer 1

分析 先求出A的坐标和渐近线方程，设OP的方程为y=kx，AR的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-a），求得$\overrightarrow{OR}$、$\overrightarrow{OQ}$的坐标，计算|$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{OR}$|的值，把双曲线方程与直线OP方程联立解得|$\overrightarrow{OP}$|²，比较可得结论．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右顶点为A（a，0），
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设OP的方程为y=kx，AR的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-a），
解得$\overrightarrow{OR}$=（-$\frac{ab}{ak-b}$，-$\frac{kab}{ak-b}$），
同理可得$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{ab}{ak+b}$，$\frac{kab}{ak+b}$）．
∴|$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{OR}$|=|$\frac{ab}{ak+b}$•（-$\frac{ab}{ak-b}$）+$\frac{kab}{ak+b}$•（-$\frac{kab}{ak-b}$）|
=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{|{a}^{2}{k}^{2}-{b}^{2}|}$．
设$\overrightarrow{OP}$=（m，n），则由双曲线方程与直线OP方程联立解得：m²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，n²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴|$\overrightarrow{OP}$|²=m²+n²=$\frac{（1+{k}^{2}）{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，
∵点P在双曲线上，∴b²-a²k²＞0，
无论点P在什么位置，总有|$\overrightarrow{OP}$|²=|$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{OR}$|═|$\overrightarrow{OQ}$|•|$\overrightarrow{OR}$|．
即为|OP|²=|OQ|•|OR|．
故答案为：=．

点评 本题考查双曲线的方程、性质及应用，考查转化思想，运用两个向量的数量积的坐标表示，式子的变形、化简是解题的难点，属于中档题．