Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦点为F₁、F₂，点F₁关于直线y=-x的对称点P在椭圆上，则△PF₁F₂的周长为4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设出椭圆的左焦点，求出关于直线y=-x的对称点P的坐标，由椭圆方程可得b=c，进而得到a的值，再由椭圆的定义可得周长为2a+2c．

解答 解：设椭圆的左焦点为（-c，0），
点F₁关于直线y=-x的对称点P（0，c），
由题意方程可得b=c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
由题意的定义可得△PF₁F₂的周长为2a+2c=2$\sqrt{2}$+4．
故答案为：$4+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查点关于直线对称的条件，考查运算能力，属于基础题．