Question

20．如图所示，在三棱锥A-BOC中，AO⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2$\sqrt{2}$，动点D在线段AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB
（Ⅱ）当OD⊥AB时，求三棱锥C-OBD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得AO⊥OC，求解在直角三角形可得OC⊥OB，再由线面垂直的判定可得OC⊥平面AOB，进一步得到平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）OD⊥AB时，求得OD=$\sqrt{3}$，此时BD=1．根据三棱锥的体积公式求解．

解答 （Ⅰ）证明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，
∴OC=OB=2．
又BC=2$\sqrt{2}$，∴OC⊥OB，
∴OC⊥平面AOB，
∵OC?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）解∵OD⊥AB，
∴BD=1，OD=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{C-OBD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×2=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力，计算能力和推理能力，属于中档题．