Question

1．对实数列{a_n}，若存在常数M＞0，使得对任意的n∈N^*，|a_n|≤M，（^*），则称数列{a_n}为有界数列，若M是使（^*）成立的最小正常数，则称M是最佳上界，现定义：a_k=$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{{k}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{（k+1）^{2}-1}$（k=1，2，…）．
（1）比较a₁，a₂，a₃的大小，并猜想数列{a_n}的单调性（不需证明）；
（2）定义数列{a_n}的交替和为：S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，问：数列{S_n}是否为有界函数？证明你的结论；
（3）①（理科）证明：数列{na_n}为有界数列，并求此数列的最佳上界M；
②（文科）证明：数列{na_n}为有界数列．

Answer 1

分析 （1）a₁=$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{1}^{2}+1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$，同理可得a₂=$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$+$\frac{1}{8}$，a₃=$\frac{1}{9}+\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{15}$，猜想数列{a_n}的单调递减．
（2）当n=2k（k∈N^*）时，S_n=（a₁-a₂）+（a₃-a₄）+…+（a_2k-1-a_2k），由于a_2k-1-a_2k＞0，因此n→+∞时，S_n→+∞，为无界函数．当n=2k-1（k∈N^*）时，S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n=（a₁-a₂）+（a₃-a₄）+…+（a_2k-3-a_2k-1）+a_2k-1，同样为无界函数．
（3）①（理科）证明：ka_k=$\frac{k}{{k}^{2}}$+$\frac{k}{{k}^{2}+1}$+…+$\frac{k}{（k+1）^{2}-1}$，$\frac{k}{{k}^{2}+m}$=$\frac{1}{k+\frac{m}{k}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，可得na_n≤$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{2\sqrt{1}}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{2n}}$＜$\sqrt{2n}$+1，数列{na_n}为有界数列，利用数学归纳法证明：$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n}}$＜$2\sqrt{2n}$即可．

解答 （1）解：a₁=$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{1}^{2}+1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$，
a₂=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+2}$+$\frac{1}{{2}^{2}+3}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$=$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$+$\frac{1}{8}$＜a₁，
a₃=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}+1}$+$\frac{1}{{3}^{2}+2}$+…+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$=$\frac{1}{9}+\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{15}$＜a₂，
猜想数列{a_n}的单调递减．
（2）解：当n=2k（k∈N^*）时，S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n=（a₁-a₂）+（a₃-a₄）+…+（a_2k-1-a_2k）
由于a_2k-1-a_2k＞0，因此n→+∞时，S_n→+∞，为无界函数．
当n=2k-1（k∈N^*）时，S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n=（a₁-a₂）+（a₃-a₄）+…+（a_2k-3-a_2k-1）+a_2k-1，同样为无界函数．
因此数列{S_n}是否为有界函数．
（3））①（理科）证明：ka_k=$\frac{k}{{k}^{2}}$+$\frac{k}{{k}^{2}+1}$+…+$\frac{k}{（k+1）^{2}-1}$，$\frac{k}{{k}^{2}+m}$=$\frac{1}{k+\frac{m}{k}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，
∴na_n≤$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{2\sqrt{1}}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{2n}}$＜$\sqrt{2n}$+1，数列{na_n}为有界数列，
下面利用数学归纳法证明：$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n}}$＜$2\sqrt{2n}$．
（i）当n=1时，左边=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜2$\sqrt{2}$，成立．
（ii）假设当n=k∈N^*时，$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2k}}$＜2$\sqrt{2k}$．
则当n=k+1时，左边=$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2k}}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+2}}$＜2$\sqrt{2k}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+2}}$，
下面证明：2$\sqrt{2k}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+2}}$＜2$\sqrt{2k+2}$，即证明$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+2}}$＜$\frac{4}{\sqrt{2k+2}+\sqrt{2k}}$．
此数列的最佳上界M=$\sqrt{2n}$+1．

点评 本题考查了数列的递推关系、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．