Question

11．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin²B=sin²A+sin²C-sinAsinC．
（1）求角B的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$及a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由sin²B=sin²A+sin²C-sinAsinC，利用正弦定理可得：b²=a²+c²-ac，再利用余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，由于B∈（0，π），可得B．
（2）由S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得ac，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，化为（a+c）²-3ac=3，解得a+c.$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-accosB．

解答 解：（1）∵sin²B=sin²A+sin²C-sinAsinC，利用正弦定理可得：b²=a²+c²-ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴ac=2，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴$（\sqrt{3}）^{2}$=a²+c²-2ac$cos\frac{π}{3}$，化为（a+c）²-3ac=3，即（a+c）²=9，解得a+c=3．
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-accosB=$-2×\frac{1}{2}$=-1．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．