Question

【题目】已知直线与轴相交于点，点坐标为，过点作直线的垂线，交直线于点．记过、、三点的圆为圆．

（1）求圆的方程；

（2）求过点与圆相交所得弦长为的直线方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）根据题意，由直线的方程求出的坐标，分析可得圆是以为直径的圆，求出圆心与半径，结合圆的标准方程分析可得答案；

（2）根据题意，设要求直线为，计算出圆心到直线的距离为，分两种情况讨论：①直线的斜率存在，可得出直线的方程为，验证即可；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离求出的值.综合可得出所求直线的方程.

（1）根据题意，直线与轴相交于点，则，

又由，则，

则圆是以为直径的圆，其圆心，半径，

因此，圆的方程为；

（2）直线的方程为，联立，解得，即点.

设要求直线为，且与圆的交点为、，

圆心到直线的距离，

分两种情况讨论：

①当直线的斜率不存在，则的方程为，

易得圆心到直线的距离为，符合题意；

②当直线的斜率不存在，设直线的方程为，即，

若圆心到直线的距离为，则有，解得，

则此时直线的方程为.

综上所述，所求直线的方程为或.