Question

已知直四棱柱AC₁（侧棱与底面垂直）的底面是边长为1的棱形，∠BCD=120°，侧棱BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得A₁B₁⊥平面BC₁，A₁C⊥BE，A₁C⊥BD，从而A₁C⊥面BDE，由此能证明BD⊥A₁C．
（2）点A到面A₁B₁C的距离即为点B到面A₁B₁C的距离，VA1-B1BC=VB-A1B1C，由此能求出三棱锥C-BDE的体积．

解答： （1）证明：∵直四棱柱A₁C，∴A₁B₁⊥平面BC₁，
B₁C为A₁C在平面BC₁上的射影，
∵BE⊥B₁C，由三垂线定理得，A₁C⊥BE，
同理A₁C⊥BD，
∵BE∩BD=B，∴A₁C⊥面BDE．
∴BD⊥A₁C．
（2）解：∵AB∥面A₁B₁C，
∴点A到面A₁B₁C的距离即为点B到面A₁B₁C的距离，设为d，
∵VA1-B1BC=VB-A1B1C，
∴

1

3

×

1

2

×

1

2

×2×1×1=

1

3

×

1

2

×

5

×1×d，
∴d=

2 5

5

，
∴点A到平面A₁B₁C的距离为

2 5

5

，
∵A₁B₁=1，A₁C=B1C=

1+4

=

5

，
∴S△A1B1C=

1

2

×1×

5- 1 4

=

19

4

，
∴三棱锥C-BDE的体积V=

1

3

×

2 5

5

×

19

4

=

95

30

．

点评：本题考查异面直线垂直的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．