Question

已知正项数列{a_n}中，其前n项为S_n，且a_n=2

Sn

-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n是数列{

1

an+1

}的前n项和，R_n是数列{

a1×a2…×an

(a1+1)×(a2+1)…×(an+1)

}的前n项和，比较R_n与T_n大小，并说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于正项数列{a_n}满足a_n=2

Sn

-1．可得Sn=

(an+1)2

4

，因此当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n-a_n-1=2，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）设t_n=

1

an+1

=

1

2n

，r_n=

a1×a2…×an

(a1+1)×(a2+1)…×(an+1)

=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

，当n=1时，T₁=R₁．当n≥2时，证明r_n＞t_n．由于r_n=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＞

1

2

×

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

×

2n+2

2n+1

=

1

rn

×

n+1

4n+2

，可得r_n＞t_n，即可得出．

解答： 解：（1）∵正项数列{a_n}满足a_n=2

Sn

-1．
∴Sn=

(an+1)2

4

，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2

4

-

(an-1+1)2

4

，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
当n=1时，a1=2

a1

-1，解得a₁=1．
∴正项数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）设t_n=

1

an+1

=

1

2n

，r_n=

a1×a2…×an

(a1+1)×(a2+1)…×(an+1)

=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

，
当n=1时，T₁=R₁．
当n≥2时，证明r_n＞t_n．
r_n=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＞

1

2

×

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

×

2n+2

2n+1

=

1

rn

×

n+1

4n+2

，
∴r_n＞

n+1 4n+2

＞

1

2n

=t_n，
∴当n≥2时，R_n＞T_n．
综上可得：当n=1时，T₁=R₁．
当n≥2时，R_n＞T_n．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了通过放缩法证明不等式、数列的前n项和，考查了推理能力与计算能力，属于难题．