Question

已知：两个非零向量

a

=（m-1，n-1），

b

=（m-3，n-3），且

a

与

b

的夹角是钝角或直角，则m+n的取值范围是（　　）

• A、（

  2

  ，3

  2

  ）
• B、（2，6）
• C、[

  2

  ，3

  2

  ]
• D、[2，6]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：由题意得，

a

•

b

≤0，（m-2）²+（n-2）²≤2，点（m，n）在以（2，2）为圆心，以

2

为半径的圆面上，包含圆，但不包括直线y=x与圆的2个交点，令m≤2+

2

cosθ，n≤2+

2

sinθ，则m+n=4+2sin（θ+

π

4

），由sinθ和cosθ 不能相等或相反，可得-1＜sin（θ+

π

4

）＜1，从而求得m+n 的范围．

解答： 解：∵

a

与

b

的夹角是钝角或直角，∴

a

•

b

≤0，
∴（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，
即 （m-2）²+（n-2）²≤2，
故点（m，n）在以（2，2）为圆心，以

2

为半径的圆面上，
包含圆，但不包括直线y=x与圆的2个交点（否则两个向量共线）．
可令m≤2+

2

cosθ，n≤2+

2

sinθ，
则sinθ和cosθ 不能相等或相反，∴-1＜sin（θ+

π

4

）＜1，
∴m+n=4+2sin（θ+

π

4

）∈（2，6），
故选：B．

点评：本题考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，正弦函数的值域，得到（m-2）²+（n-2）²≤2，是解题的关键．