Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=

a

a-1

（a_n-1）（a为常数且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2Sn

an

+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设c_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

），数列{c_n}的前n项和T_n，求证：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=

a

a-1

（a_n-1），（a为常数且a≠0，a≠1）．可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=aa_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=

2Sn

an

+1=

2a a-1 (an-1)

an

+1=

2a

a-1

(1-

1

an

)+1，由于数列{b_n}为等比数列，可得

b

2 2

=b1b3，解出即可．
（3）c_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）=2-(

1

1+ 1 3n

+

1

1- 1 3n+1

)=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

．再利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）解：∵S_n=

a

a-1

（a_n-1），（a为常数且a≠0，a≠1）．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

a

a-1

[(an-1)-(an-1-1)]=

a

a-1

(an-an-1)，
化为a_n=aa_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，
a1=

a

a-1

(a1-1)，解得a₁=a．
∴a_n=aⁿ．
（2）解：b_n=

2Sn

an

+1=

2a a-1 (an-1)

an

+1=

2a

a-1

(1-

1

an

)+1，
∵数列{b_n}为等比数列，
∴

b

2 2

=b1b3，
∴[

2a

a-1

(1-

1

a2

)+1]2=[

2a

a-1

(1-

1

a

)+1][

2a

a-1

(1-

1

a3

)+1]，
化为

2a

a-1

(

1

a3

+

1

a

-

1

a2

)(

2a

a-1

+1)=0，
∴3a-1=0，
解得a=

1

3

．
（3）证明：c_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）=2-(

1

1+ 1 3n

+

1

1- 1 3n+1

)=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

．
∴T_n＜(

1

3

-

1

32

)+(

1

32

-

1

33

)+…+(

1

3n

-

1

3n+1

)
=

1

3

-

1

3n+1

＜

1

3

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其性质、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．