Question

若函数f（x）=|a^x+x²-xlna-t|-1（a＞1）有三个零点，则t的值是（　　）

• A、2
• B、4
• C、8
• D、0

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=|g（x）-t|-1有三个零点，转化为g（x）=t±1共有三个根，即y=g（x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点，根据t-1＜t+1，
可得g（x）=t+1有两个根，g（x）=t-1只有一个根，从而可求t的值．

解答： 解：令g（x）=）=a^x+x²-xlna，（a＞1）．
g′（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，g（x），g′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	递减	极小值1	递增

因为函数f（x）=|g（x）-t|-1有三个零点，所以g（x）=t±1共有三个根，即y=g（x）的图象与两个平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点．
y=g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t-1只有一个根．
∴t-1=f_min（x）=f（0）=1，∴t=2．
故选：A．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力．