Question

巳知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（

π

3

+x）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1求出sin（

x

2

+

π

6

）的值，即可确定出cos（

π

3

+x）的值；
（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosB的值，确定出B的度数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（A）的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

=1，即sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（x+

π

3

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

；
（Ⅱ）∵△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵B为三角形内角，∴B=

π

3

，
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，即1＜sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

＜

3

2

，
则f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

∈（1，

3

2

）．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式的作用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．