Question

4．已知（1-3x）ⁿ的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中系数最小的项．

Answer 1

分析 先由题意求得n的值，再利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求得展开式中系数最小的项．

解答 解：由题意可得${C}_{n}^{n-2}$+${C}_{n}^{n-1}$+${C}_{n}^{n}$=121，即${C}_{n}^{2}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{0}$=121，化简可得n²+n-240=0，
求得n=15，或 n=-16（舍去）．
该二项式的通项公式为T_r+1=${C}_{15}^{r}$•（-3x）^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{15}^{r}{•（-1）}^{r}{≤C}_{15}^{r+1}{•（-1）}^{r+1}}\\{{C}_{15}^{r}{•（-1）}^{r}{≤C}_{15}^{r-1}{•（-1）}^{r-1}}\end{array}\right.$，且r=0，1，2，…，15，
∴r为奇数，且$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{15}^{r}{•3}^{r}{≥C}_{15}^{r+1}{•3}^{r+1}}\\{{C}_{15}^{r}{•3}^{r}{≥C}_{15}^{r-1}{•3}^{r-1}}\end{array}\right.$，求得r=11，
故展开式中系数最小的项为T₁₂=-${C}_{15}^{11}$•3¹¹•x¹¹．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．