Question

9．数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）若b_n=$\frac{{2}^{n}}{n（n+1）{a}_{n}}$（n∈N*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用数列的递推式：n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）计算b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，
可得n=1时，a₁=S₁=4-2=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ+2=2ⁿ．
上式对n=1也成立，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ．n∈N*；
（Ⅱ）b_n=$\frac{{2}^{n}}{n（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．