Question

14．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼的时间（分钟）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）
总人数	20	36	44	50	40	10

将学生日均课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否有99%的把握认为“课外体育达标”与性别有关？

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男
女		20	110
合计

（2）同一个学生的跳远成绩和短跑100米成绩具有正相关关系，下表是从甲班随机抽取的5名学生的跳远和短跑100米成绩（都采用百分制），其中x示跳远成绩，y表示短跑100米成绩，请根据表中的数据，求y关于x的线性回归方程：

学生的编号i	1	2	3	4	5
跳远成绩xi	80	75	70	65	60
短跑100米成绩yi	73	66	68	61	62

（参考数据：$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=23235，$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=24750）．

Answer 1

分析 （1）根据所给数据，可得列联表，计算K²，即可得出结论；
（2）由图表分别求出$\widehat{b}$与$\widehat{a}$的值，则回归直线方程可求．

解答 解：（1）列出列联表，

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男	60	30	90
女	90	20	110
合计	150	50	200

K²=$\frac{200×（60×20-30×90）^{2}}{150×50×90×110}$≈6.060＜6.635，
∴没有99%的把握认为“课外体育达标”与性别有关；
（2）由图表可知，$\overline{x}=\frac{80+75+70+65+60}{5}=70$，$\overline{y}=\frac{73+66+68+61+62}{5}=66$．
又$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=23235，$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=24750，
∴$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{23235-5×70×66}{24750-5×7{0}^{2}}$=0.54．
则$\widehat{a}=66-0.54×70$=28.2．
∴y关于x的线性回归方程为y=0.54x+28.2．

点评 本题考查统计案例及线性回归直线方程，考查计算能力，是中档题．