Question

2．设$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$是矩阵$M=[{\begin{array}{l}a&2\\ 3&2\end{array}}]$的一个特征向量．
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值．

Answer 1

分析 （1）设$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，列出方程组，能求出实数a的值．
（2）由$f（λ）=|\begin{array}{l}1-λ\;\;\;\;2\\ 3\;\;\;\;\;\;\;2-λ\;\;\end{array}|=（1-λ）（2-λ）-6=0$，能求出矩阵M的特征值．

解答 解：（1）设$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，
则$[{\begin{array}{l}a&2\\ 3&2\end{array}}]$$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]=λ$$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$，故$\left\{\begin{array}{l}2a+6=2λ\\ 12=3λ\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}λ=4\\ a=1.\end{array}\right.$，
故实数a=1．…（5分）
（2）$f（λ）=|\begin{array}{l}1-λ\;\;\;\;2\\ 3\;\;\;\;\;\;\;2-λ\;\;\end{array}|=（1-λ）（2-λ）-6=0$，
解得矩阵M的特征值λ₁=4，λ₂=-1．…（10分）

点评 本题考查实数值的求法，考查矩阵的特征值的求法，考查矩阵的特征向量、特征值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．