Question

8．共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态．一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：

租用单车数量x（千辆）	2	3	4	5	8
每天一辆车平均成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：$\stackrel{∧}{y}$^（1）=$\frac{4}{x}$+1.1，方程乙：$\stackrel{∧}{y}$^（2）=$\frac{6.4}{{x}^{2}}$+1.6．
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$=y_i-$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$，$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$称为相应于点（x_i，y_i）的残差（也叫随机误差）；

租用单车数量x（千辆）		2	3	4	5	8
每天一辆车平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$（1）		2.4	2.1		1.6
	残差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（1）		0	-0.1		0.1
模型乙	估计值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ （2）		2.3	2	1.9
	残差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（2）		0.1	0	0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁及Q₂，并通过比较Q₁，Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放．根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元的概率分别为0.4，0.6．问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）．

Answer 1

分析 （1）①通过计算填写表中数据；②计算模型甲、乙的残差平方，比较即可得出结论；
（2）计算投放共享单车为8千辆和1万辆时，该公司一天获得的总利润，从而得出正确的结论．

解答 解：（1）①经计算，可得下表（计算结果精确到0.1）；

租用单车数量x（千辆）		2	3	4	5	8
每天一辆车平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$（1）	3.1	2.4	2.1	1.9	1.6
	残差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（1）；	0.1	0	-0.1	0	0.1
模型乙	估计值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ （2）	3.2	2.3	2	1.9	1.7
	残差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（2）	0	0.1	0	0	0

②计算模型甲的残差平方Q₁=0.1²+（-0.1）²+0.1²=0.03，
模型乙的残差平方Q₂=0.1²=0.01；
∴Q₁＞Q₂，故模型乙的拟合效果更好；
（2）若该城市投放共享单车为8千辆时，则该公司获得每辆车一天的收入期望为：
10×0.6+6×0.4=8.4（元），
所以该公司一天获得的总利润为（8.4-1.7）×8000=53600（元）；
若投放共享单车为1万辆时，则每辆车的成本为$\frac{6.4}{{10}^{2}}$+1.6=1.664（元），
每辆车一天的收入期望为10×0.4+6×0.6=7.6（元），
所以该公司一天获得的总利润为（7.6-1.664）×10000=59360（元）；
由59360＞53600，∴投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆．

点评 本题考查了残差平方的计算问题，也考查了利润函数的计算问题，是中档题．