Question

18．利用等式kC_n^k=nC_n-1^k-1（1≤k≤n，k，n∈N^*）可以化简1•C_n¹+2•C_n²2¹+n•C_nⁿ2^n-1=nC_n-1⁰+n•C_n-1¹2¹+n•C_n²2²+…+n•C_n-1^n-12^n-1=n（1+2）^n-1=n•3^n-1．等式kC_n^k=nC_n-1^k-1有几种变式，如：$\frac{1}{k}C_{n-1}^{k-1}=\frac{1}{n}$C_n^k又如将n+1赋给n，可得到kC_n+1^k=（n+1）C_n^k-1，…，类比上述方法化简等式：C_n⁰•$\frac{1}{5}+\frac{1}{2}C_n^1•{（{\frac{1}{5}}）^2}+\frac{1}{3}C_n^2•{（{\frac{1}{5}}）^3}+…+\frac{1}{n+1}C_n^n•{（{\frac{1}{5}}）^{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}[{{{（\frac{6}{5}）}^{n+1}}-1}]$．

Answer 1

分析 根据等式$\frac{1}{k}$C_n^k=$\frac{1}{n+1}$${C}_{n+1}^{k+1}$，…，利用二项式定理化简等式即可得出结论．

解答 解：根据等式$\frac{1}{k}$C_n^k=$\frac{1}{n+1}$${C}_{n+1}^{k+1}$，…，化简等式：
C_n⁰•$\frac{1}{5}+\frac{1}{2}C_n^1•{（{\frac{1}{5}}）^2}+\frac{1}{3}C_n^2•{（{\frac{1}{5}}）^3}+…+\frac{1}{n+1}C_n^n•{（{\frac{1}{5}}）^{n+1}}$
=$\frac{1}{n+1}$${C}_{n+1}^{1}$•$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{n+1}$•${C}_{n+1}^{2}$•${（\frac{1}{5}）}^{2}$+$\frac{1}{n+1}$•${C}_{n+1}^{3}$•${（\frac{1}{5}）}^{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$•${C}_{n+1}^{n+1}$•${（\frac{1}{5}）}^{n+1}$
=$\frac{1}{n+1}$[${C}_{n+1}^{1}$•$\frac{1}{5}$+${C}_{n+1}^{2}$•${（\frac{1}{5}）}^{2}$+${C}_{n+1}^{3}$•${（\frac{1}{5}）}^{3}$+…+${C}_{n+1}^{n+1}$•${（\frac{1}{5}）}^{n+1}$]
=$\frac{1}{n+1}$[${（\frac{1}{5}+1）}^{n+1}$-${C}_{n+1}^{0}$]
=$\frac{1}{n+1}[{{{（\frac{6}{5}）}^{n+1}}-1}]$．
故答案为：$\frac{1}{n+1}$[${（\frac{6}{5}）}^{n+1}$-1]．

点评 本题考查了组合数公式与二项式定理的应用问题，是中档题．