Question

13．一个袋中有大小形状相同的2个红球，2个蓝球，一次从中摸出2个小球，当至少有一个红球时，获得1分，否则记零分，那么小明摸一次得分的概率为$\frac{5}{6}$；如果小明有放回地从中摸了3次，记小明总得分为ξ，则D（ξ）=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用对立事件概率计算公式能求出小明摸一次得分的概率，小明有放回地从中摸了3次，记小明总得分为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出方差D（ξ）．

解答 解：一个袋中有大小形状相同的2个红球，2个蓝球，
一次从中摸出2个小球，当至少有一个红球时，获得1分，否则记零分，
则小明摸一次得分的概率为：p=1-$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{5}{6}$．
小明有放回地从中摸了3次，记小明总得分为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴ξ的分列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$，
D（ξ）=（0-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{1}{8}$+（1-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{3}{8}$+（2-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{3}{8}$+（3-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{6}$，$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．